【题目】函数 .
(1)当时,讨论
的单调性;
(2)若函数有两个极值点
,且
,证明:
.
【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:
(1)结合函数的解析式求导可得,分类讨论可得:
当时,
在
上递减,
在和
上递增,当
时,在
上递增.
(2)由题意结合函数的性质可知: 是方程
的两根,结合所给的不等式构造对称差函数
,结合函数的性质和自变量的范围即可证得题中的不等式.
试题解析:
函数的定义域为
,
(1)令,开口向上,
为对称轴的抛物线,
当时,
①,即
时,
,即
在
上恒成立,
②当时,由
,得
,
因为,所以
,当
时,
,即
,
当或
时,
,即
,
综上,当时,
在
上递减,
在和
上递增,当
时,在
上递增.
(2)若函数有两个极值点
且
,
则必有,且
,且
在
上递减,在
和
上递增,
则,
因为是方程
的两根,
所以,即
,
要证
又
,
即证对
恒成立,
设
则
当时,
,故
,
所以在
上递增,
故,
所以,
所以.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知甲、乙两位同学8次数学单元测试的成绩构成如下所示的茎叶图,且甲同学成绩的平均数比乙同学成绩的平均数小2.
(1)求m的值以及乙同学成绩的方差;
(2)若数学测试的成绩高于85分(含85分),则视为优秀.现对乙同学的成绩进行深入分析,在乙同学的优秀成绩中任取2次成绩,求至少有一次抽取的成绩超过90分的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】动点P到定点F(0,1)的距离比它到直线的距离小1,设动点P的轨迹为曲线C,过点F的直线交曲线C于A、B两个不同的点,过点A、B分别作曲线C的切线,且二者相交于点M.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)求证: ;
(Ⅲ)求△ABM的面积的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知椭圆:
的离心率为
,
、
为椭圆的左右顶点,焦点到短轴端点的距离为2,
、
为椭圆
上异于
、
的两点,且直线
的斜率等于直线
斜率的2倍.
(Ⅰ)求证:直线与直线
的斜率乘积为定值;
(Ⅱ)求三角形的面积
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,五面体ABCDE,四边形ABDE是矩形,△ABC是正三角形,AB=1,AE=2,F是线段BC上一点,直线BC与平面ABD所成角为30°,CE∥平面ADF.
(1)试确定F的位置;
(2)求三棱锥A-CDF的体积.
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