Question

【题目】已知AB是圆O的直径，C，D是圆上不同两点，且CD∩AB＝H，AC＝AD，PA⊥圆O所在平面．

(Ⅰ)求证：PB⊥CD；

(Ⅱ)若PB＝，∠PBA＝，∠CAD＝，求H到平面PBD的距离．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）由AB是圆O的直径知∠ACB=∠ADB=90°，从而证明PB⊥CD．（Ⅱ）过点P作PB的垂线，过点H作PB的垂线，分别交PB于点E，F；求出H到平面PBD的距离．

试题解析：

(Ⅰ)证明：∵AB是圆O的直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝，

∵AC＝AD，∴Rt△ACB≌Rt△ADB，∴AB⊥CD，

又∵PA⊥圆O所在平面，CD在圆O所在平面内，

∴PA⊥CD，

∵PA∩AB＝A，∴CD⊥平面PAB，∴PB⊥CD.

(Ⅱ)解：过点A作PB的垂线，过点H作PB的垂线，分别交PB于E，F，

∵Rt△PAB中，∠PBA＝，PB＝2，

∴PA＝AB＝2，∴AE＝ABsin＝2·＝，

又∵∠CAB＝∠DAB＝，∴AC＝1，AD＝1

∵CH⊥AH，∴AH＝，

∴BH＝，HD＝，BD＝，PD＝

∴VH－PBD＝VP－HDB＝××××2＝

S△PBD＝××＝，

∴H到平面PBD的距离为＝.