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(本小题13分)如图,棱锥的底面是矩形,⊥平面

(1)求证:⊥平面

(2)求二面角的大小;

(3)求点到平面的距离.

 

【答案】

(1)见解析;(2);(3)

【解析】

试题分析:(方法一)证明:(1)在中,

所以为正方形,因此. ∵⊥平面平面

.又∵, ∴⊥平面.                     ……4分               

(2)解:由⊥平面,知在平面内的射影,

,∴,知为二面角的平面角.   

 又∵,∴ .                                      ……9分                                                    

(3)∵,∴

到面的距离为

,有,                        

.                                                         ……14分       

(方法二)证明:(Ⅰ)建立如图所示的直角坐标系,

.

中, ,

   ∵

,又∵, ∴⊥平面.          ……4分               

解:(2)由(Ⅰ)得.

设平面的法向量为,则

,∴  故平面的法向量可取为                               

⊥平面,∴为平面的法向量. 

设二面角的大小为,依题意可得

                                                           ……9分                                                      

(3)由(Ⅰ)得

设平面的法向量为

,即,∴

故平面的法向量可取为.                             

,∴到面的距离为.          ……14分

考点:本小题主要考查空间中线面垂直的证明、二面角以及点到平面的距离的求法,考查学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力和运算能力.

点评:解决空间中的平行、垂直以及距离等问题,有传统方法和向量方法两种方法,用传统方法时,要注意紧扣定理,把符合定理的条件都列出来;用向量方法时,运算量较大,要仔细、快速进行.

 

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