(本小题13分)如图,棱锥的底面是矩形,⊥平面,,
(1)求证:⊥平面;
(2)求二面角的大小;
(3)求点到平面的距离.
(1)见解析;(2);(3)
【解析】
试题分析:(方法一)证明:(1)在中,,,
所以为正方形,因此. ∵⊥平面,平面,
∴.又∵, ∴⊥平面. ……4分
(2)解:由⊥平面,知为在平面内的射影,
又,∴,知为二面角的平面角.
又∵,∴ . ……9分
(3)∵,∴,
设到面的距离为,
由,有,
即,
得. ……14分
(方法二)证明:(Ⅰ)建立如图所示的直角坐标系,
则、、.
在中,, ,∴,
∴ ∵,
即,又∵, ∴⊥平面. ……4分
解:(2)由(Ⅰ)得.
设平面的法向量为,则
即,∴ 故平面的法向量可取为
∵⊥平面,∴为平面的法向量.
设二面角的大小为,依题意可得,
∴ ……9分
(3)由(Ⅰ)得,
设平面的法向量为,
则,即,∴,
故平面的法向量可取为.
∵,∴到面的距离为. ……14分
考点:本小题主要考查空间中线面垂直的证明、二面角以及点到平面的距离的求法,考查学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力和运算能力.
点评:解决空间中的平行、垂直以及距离等问题,有传统方法和向量方法两种方法,用传统方法时,要注意紧扣定理,把符合定理的条件都列出来;用向量方法时,运算量较大,要仔细、快速进行.
科目:高中数学 来源:2014届湖北武汉部分重点中学高二上学期期末考试文科数学卷(解析版) 题型:解答题
(本小题13分)如图1,在三棱锥P—ABC中,平面ABC,,D为侧棱PC上一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示。
(1)证明:平面PBC;
(2)求三棱锥D—ABC的体积;
(3)在的平分线上确定一点Q,使得平面ABD,并求此时PQ的长。
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科目:高中数学 来源:2014届安徽宿松县复兴中学高一第二学期第三次月考数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题13分)
如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年北京市东城区示范校高三第二学期综合练习数学文卷 题型:解答题
(本小题13分)如图,在四棱锥中,
底面是矩形,侧棱PD⊥底面,
,是的中点,作⊥交于点.
(1)证明:∥平面;
(2)证明:⊥平面.
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