Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥底ABCD，，E、F分别是BC、AP的中点．
（1）求证：EF∥平面PCD；
（2）求三棱锥F-ABE的体积．

Answer 1

解：（1）证明：取PD的中点G，连接FG、CG（2分）
∵FG是△PAD的中位线，
∴FG∥且FG=
在菱形ABCD中，AD∥BC且AD=BC，又E为BC的中点，
∴CE∥FG且CE=FG
∴四边形EFGC是平行四边形，
∴EF∥CG（4分）
又EF?面PCD，CG?面PCD，
∴EF∥面PCD（6分）
（2）取AO的中点M，连FM，则FM∥OP，，
又OP⊥面ABCD，
∴FM⊥面ABCD．
∴FM是三棱锥F-ABE的高，（8分）
又（10分）
∴（12分）
分析：（1）取PD的中点G，连接FG、CG，由FG是△PAD的中位线，可得FG∥且FG=；由公理4可得CE∥FG且CE=FG，可得四边形EFGC是平行四边形，从而有EF∥CG，进而由线面平行的判定得到结论．
（2）取AO的中点M，连FM，则FM∥OP，又OP⊥面ABCD，所以FM⊥面ABCD，FM是三棱锥F-ABE的高，再求得△ABE的面积，最后由棱锥的体积公式求解．
点评：本题主要考查线线，线面，面面平行，垂直关系的转化与应用，还考查了几何体的体积求法，关键是论证高及几何体的底，属中档题．