Question

6．已知函数f（x）=x²+（b-$\sqrt{4-{a}^{2}}$）x+2a-b是偶函数，则函数图象与y轴交点的纵坐标的最小值是-2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据二次函数是偶函数的等价条件，即一次项的系数为零，求出a与b的关系式，而f（x）图象与y轴交点的纵坐标是f（0）=2a-b，数形结合求最值即可．

解答 解：∵f（x）=x²+（b-$\sqrt{4-{a}^{2}}$）x+2a-b是偶函数，
∴b-$\sqrt{4-{a}^{2}}$=0，则b=$\sqrt{4-{a}^{2}}$，
它表示以原点为圆心，以2为半径的上半圆；
f（x）图象与y轴交点的纵坐标是f（0）=2a-b，
令t=2a-b，则b=2a-t，它表示斜率为2的直线．
如图：当直线过点A（2，0）时，
在y轴上的截距-t最小，从而t最大，值为4
由直线与圆相切，可得$\frac{|t|}{\sqrt{5}}$=2，∴函数图象与y轴交点的纵坐标的最小值是-2$\sqrt{5}$．
故答案为：-2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查函数奇偶性的应用、数形结合求最值，有一定的综合性，能力要求较高．