Question

3．下列命题：
①存在实数x，使sinx+cosx=$\frac{π}{3}$；
②若△ABC是锐角三角形，则sinA＞cosB；
③函数y=sin（2x+$\frac{5π}{2}$）是奇函数；
④函数y=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{8}$个单位．得到y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象．
其中正确命题的序号是①②④（填上你认为所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 ①利用三角函数的辅助角公式求出函数的最值．
②利用锐角三角形的关系确定α，β的关系，然后利用三角函数的单调性判断．
③利用诱导公式和三角函数的奇偶性进行判断；
④利用三角函数的图象平移进行推导．

解答 解：①因为sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），所以sinx+cosx∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
因为$\frac{π}{3}$∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
所以存在实数x，使sinx+cosx=$\frac{π}{3}$，所以①正确．
②因为α，β是锐角三角形的内角，
所以π-α-β＜$\frac{π}{2}$，
即α+β＞$\frac{π}{2}$，
所以α＞$\frac{π}{2}$-β＞0，
因为y=sinx在（0，$\frac{π}{2}$）单调递增，
所以得sinα＞sin（$\frac{π}{2}$-β），
即sinα＞cosβ，所以②正确．
③函数y=sin（2x+$\frac{5π}{2}$）=cos2x是偶函数，故③错误；
④把函数y=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{8}$个单位，
得到函数为y=sin[2（x+$\frac{π}{8}$）]=sin（2x-$\frac{π}{4}$），所以④正确；
故正确的命题的序号是：①②④，
故答案为：①②④

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，本题综合性强，难度中档．