Question

12．已知函数y=2cos（2x+$\frac{4}{3}$π）．
（1）在该函数图象的对称轴中，求离y轴最近的那条对称轴的方程；
（2）将该函数的图象向右平移φ个长度单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值；
（3）求此函数的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用余弦函数的图象的对称性，求得离y轴最近的那条对称轴的方程．
（2）由条件利用y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，求得φ的最小值．
（3）由条件利用余弦函数的单调性求得函数的单调增区间．

解答 解：（1）对于函数y=2cos（2x+$\frac{4}{3}$π），令2x+$\frac{4}{3}$π=kπ，求得 x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{2π}{3}$，
可得函数的图象的对称轴方程为 x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{2π}{3}$，k∈Z．
故当k=1时，得到离y轴最近的那条对称轴的方程为x=-$\frac{π}{6}$．
（2）把函数y=2cos（2x+$\frac{4}{3}$π）的图象向右平移φ个长度单位后，得到函数y=2cos（2x-2φ+$\frac{4}{3}$π）的图象，
再根据所得图象关于原点对称，可得-2φ+$\frac{4}{3}$π=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得φ=-$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{5π}{12}$，故φ的最小值为$\frac{5π}{12}$．
（3）令2kπ-π≤2x+$\frac{4π}{3}$≤2kπ，k∈Z，求得kπ-$\frac{7π}{6}$≤x≤kπ-$\frac{2π}{3}$，
故函数的增区间为[kπ-$\frac{7π}{6}$，kπ-$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查余弦函数的图象的对称性、余弦函数的单调性、奇偶性，y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．