Question

2．已知抛物线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，并且经过点（1，2），直线l：y=x+b与抛物线有两个交点A，B，且|AB|=4．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的方程为y²=2px （p＞0），把点（1，2）代入，求得p的值，可得抛物线的标准方程．
（2）把直线l的方程和抛物线方程联立方程组，利用韦达定理、弦长公式求得b的值，可得直线l的方程．

解答 解：（1）设抛物线的方程为y²=2px （p＞0），把点（1，2）代入可得 4=2p×1，求得 p=2，
故抛物线的标准方程为 y²=4x．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$ 可得 x²+（2b-4）x+b²=0，∴x₁+x₂=4-2b，x₁•x₂=b²，
再根据|AB|=4=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{（4-2b）}^{2}-{4b}^{2}}$，求得b=$\frac{1}{2}$，
故直线l的方程为 y=x+$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查抛物线的标准方程以及简单性质的应用，弦长公式，属于基础题．