Question

7．一个等比数列的公比q≠1，则以下选项正确的是（　　）

• A． S${\;}_{2n}^{2}$=S_n•S_3n
• B． S${\;}_{2n}^{2}$+S${\;}_{3n}^{2}$=S_n（S_2n+S_3n）
• C． S${\;}_{n}^{2}$+S${\;}_{2n}^{2}$=S_n（S_2n+S_3n）
• D． S${\;}_{n}^{2}$+S${\;}_{3n}^{2}$=S_2n（S_n+S_3n）

Answer 1

分析 设等比数列的首项是a₁，由等比数列的前n项和公式表示出S_n、S_2n、S_3n，代入各个选项验证即可．

解答 解：设等比数列的首项是a₁，
则S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，S_2n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}$，S_3n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3n}）}{1-q}$，
A、因为S²_2n=$\frac{{{a}_{1}}^{2}（1-{q}^{2n}）^{2}}{（1-q）^{2}}$=$\frac{{{a}_{1}}^{2}{（1-{q}^{n}）}^{2}（1+{q}^{n}）^{2}}{{（1-q）}^{2}}$，S_n•S_3n=$\frac{{{a}_{1}}^{2}（1-{q}^{n}）（1-{q}^{3n}）}{{（1-q）}^{2}}$=$\frac{{{a}_{1}}^{2}{（1-{q}^{n}）}^{2}（1+{q}^{n}+{q}^{2n}）}{{（1-q）}^{2}}$，
所以S²_2n≠S_n•S_3n，A不正确；
B、因为S²_2n+S²_3n=$\frac{{{a}_{1}}^{2}{（1-{q}^{2n}）}^{2}}{{（1-q）}^{2}}$+$\frac{{{a}_{1}}^{2}{（1-{q}^{3n}）}^{2}}{{（1-q）}^{2}}$=$\frac{{{a}_{1}}^{2}{[（1-{q}^{2n}）}^{2}+（1-{q}^{3n}）^{2}]}{{（1-q）}^{2}}$，
S_n（S_2n+S_3n）=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$[$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}$+$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3n}）}{1-q}$]=$\frac{{{a}_{1}}^{2}（1-{q}^{n}）}{（1-q）^{2}}[（1-{q}^{2n}）+（1-{q}^{3n}）]$=$\frac{{{a}_{1}}^{2}（1-{q}^{n}）^{2}（2+2{q}^{n}+{q}^{2n}）}{{（1-q）}^{2}}$，
所以S²_2n+S²_3n≠S_n（S_2n+S_3n），B不正确；
C、因为${{S}^{2}}_{n}+{{S}^{2}}_{2n}$=$\frac{{{a}_{1}}^{2}{（1-{q}^{n}）}^{2}}{{（1-q）}^{2}}+\frac{{{a}_{1}}^{2}{（1-{q}^{2n}）}^{2}}{{（1-q）}^{2}}$=$\frac{{{a}_{1}}^{2}{[（1-{q}^{n}）}^{2}+{（1-{q}^{2n}）}^{2}]}{{（1-q）}^{2}}$=$\frac{{{a}_{1}}^{2}{（1-{q}^{n}）}^{2}[1+{（1+{q}^{n}）}^{2}]}{{（1-q）}^{2}}$，
S_n（S_2n+S_3n）=$\frac{{{a}_{1}}^{2}（1-{q}^{n}）^{2}（2+2{q}^{n}+{q}^{2n}）}{{（1-q）}^{2}}$=$\frac{{{a}_{1}}^{2}{（1-{q}^{n}）}^{2}[1+{（1+{q}^{n}）}^{2}]}{{（1-q）}^{2}}$，
所以${{S}^{2}}_{n}+{{S}^{2}}_{2n}$=S_n（S_2n+S_3n），C正确；
D、因为${{S}^{2}}_{n}+{{S}^{2}}_{3n}$=$\frac{{{a}_{1}}^{2}{[（1-{q}^{n}）}^{2}+{（1-{q}^{3n}）}^{2}]}{{（1-q）}^{2}}$=$\frac{{{a}_{1}}^{2}{（1-{q}^{n}）}^{2}[1+{（1+{q}^{n}+{q}^{2n}）}^{2}]}{{（1-q）}^{2}}$，
S_2n（S_n+S_3n）=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}$[$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$+$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3n}）}{1-q}$]=$\frac{{{a}_{1}}^{2}（1-{q}^{2n}）}{{（1-q）}^{2}}[（1-{q}^{n}）+（1-{q}^{3n}）]$，
所以${{S}^{2}}_{n}+{{S}^{2}}_{3n}$≠S_2n（S_n+S_3n），D不正确，
故选：C．

点评 本题考查等比数列的前n项和公式，考查化简、变形能力，属于中档题．