Question

19．已知奇函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$（a，b∈N^*，c∈R），f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并用单调性定义加以证明；
（3）试求函数g（x）=$\frac{{x}^{2}-4x-4}{x+1}$（0≤x≤1）的值域．

Answer 1

分析 （1）首先由奇函数定义求c，然后利用f（1）=2，f（2）＜3求a或b的取值范围，最后通过a、b、∈N^*求a、b、c的值；
（2）直接利用函数单调性的定义证明；
（3）把原函数解析式化简变形，由x的范围求出x+1的范围，再利用函数单调性求得函数值域．

解答 解：（1）由f（-x）=-f（x），得-bx+c=-（bx+c），
∴c=0．
由f（1）=2，得a+1=2b  ①，
由f（2）＜3，得$\frac{4a+1}{2b}＜3$  ②，
由①②得$\frac{4a+1}{a+1}＜3$，
变形可得（a+1）（a-2）＜0，
解得-1＜a＜2．
又a∈Z，
∴a=0或a=1．
若a=0，则b=$\frac{1}{2}$，与b∈N^*矛盾，
若a=1，则b=1，
故a=1，b=1，c=0；
（2）$f（x）=\frac{{x}^{2}+1}{x}=x+\frac{1}{x}$在（1，+∞）上为增函数．
证明：设x₁＞x₂＞1，
则$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}-{x}_{2}+\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}$=${x}_{1}-{x}_{2}-\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$．
∵x₁＞x₂＞1，
∴${x}_{1}-{x}_{2}＞0，1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$，
则$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$＞0．
即f（x₁）＞f（x₂）．
∴$f（x）=\frac{{x}^{2}+1}{x}=x+\frac{1}{x}$在（1，+∞）上为增函数；
（3）g（x）=$\frac{{x}^{2}-4x-4}{x+1}$=$\frac{（x+1）^{2}-6（x+1）+1}{x+1}$
=（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-6．
∵0≤x≤1，1≤x+1≤2，则g（x）∈[-4，-$\frac{7}{2}$]．
即函数g（x）=$\frac{{x}^{2}-4x-4}{x+1}$（0≤x≤1）的值域为[-4，-$\frac{7}{2}$]．

点评 本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查了利用单调性定义证明函数的单调性，训练了函数值域的求法，是中档题．