Question

10．直线y=kx+m（k≠0）与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1相交于A，B两点，设点M（0，-1），若|MA|=|MB|，求m的取值范围．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点N（x₀，y₀）．直线方程与椭圆方程联立化为：（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，利用△＞0，化为4k²+1＞m²．由于|MA|=|MB|，可得k_MN•k_AB=-1，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得：m（4m-1）（4m²-m-9）＜0，解出即可．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点N（x₀，y₀）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
化为：（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=64k²m²-4（4k²+1）（4m²-4）＞0，化为：4k²+1＞m²．
∴x₁+x₂=$\frac{-8km}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$．
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{4km}{4{k}^{2}+1}$，y₀=kx₀+m=-$\frac{4{k}^{2}m}{4{k}^{2}+1}$+m=$\frac{m}{4{k}^{2}+1}$．
∵|MA|=|MB|，
∴k_MN•k_AB=-1，
∴$\frac{\frac{m}{4{k}^{2}+1}+1}{\frac{-4km}{4{k}^{2}+1}-0}$•k=-1，
化为：4k²=$\frac{5m+1}{4m-1}$．
∴4k²+1=$\frac{5m+1}{4m-1}$+1＞m²，
化为：m（4m-1）（4m²-m-9）＜0，由于4m²-m-9＞0恒成立，化为m（4m-1）＜0．
解得$0＜m＜\frac{1}{4}$．
∴m的取值范围是$（0，\frac{1}{4}）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．