Question

9．已知函数f（x）=$\frac{|x|}{x+1}$．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若方程f（x）-kx²=0有四个不等实根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）判断函数f （x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明，先去绝对值号对函数表达式化简，根据其形式判断出函数的性质，再进行证明
（2）方程f（x）-kx²=0有四个不同的实数解，代入函数表达式，进行探究，由于方程带有绝对值，故需要分类去绝对值，在每一类中找出满足方程有两解的参数的值，合并既得．

解答 解：（1）函数f （x）的单调递增区间为[0，+∞），单调递减区间为（-∞，-1），（-1，0]，证明如下：
∵f（x）=$\frac{|x|}{x+1}$，
∴当x≥0时，f（x）=1-$\frac{1}{x+1}$，
∵y=$\frac{1}{x+1}$在（0，+∞）上是减函数
∴f （x）在区间（0，+∞）上是增函数．
当x≤0时，f（x）=-1+$\frac{1}{x+1}$，
∵y=$\frac{1}{x+1}$在（-1，0]上是减函数，
∴f （x）在区间（-1，0]上是减函数
∵y=$\frac{1}{x+1}$在（-∞，-1）上是减函数，
∴f （x）在区间（-∞，-1）上是减函数．（4分）
（2）原方程即：$\frac{|x|}{x+1}$=kx²①
①由方程的形式可以看出，x=0恒为方程①的一个解．（5分）
②当x＜0且x≠-1时方程①有解，则$\frac{-x}{x+1}$=kx²即kx²+kx+1=0，
当k=0时，方程kx²+kx+1=0无解；
当k≠0时，△=k²-4k≥0，即k＜0或k≥4时，方程kx²+kx+1=0有解．
设方程kx²+kx+1=0的两个根分别是x₁，x₂则x₁+x₂=-1，x₁x₂=$\frac{1}{k}$．
当k＞4时，方程kx²+kx+1=0有两个不等的负根；
当k=4时，方程kx²+kx+1=0有两个相等的负根；
当k＜0时，方程kx²+kx+1=0有一个负根（8分）
③当x＞0时，方程①有解，则$\frac{x}{x+1}$=kx²，kx²+kx-1=0
当k=0时，方程kx²+kx-1=0无解；
当k≠0时，△=k²+4k≥0即k＞0或k≤-4时，方程kx²+kx-1=0有解．
设方程kx²+kx-1=0的两个根分别是x₃，x₄
∴x₃+x₄=-1，x₃x₄=-$\frac{1}{k}$，
∴当k＞0时，方程kx²+2kx-1=0有一个正根，
当k≤-4时，方程kx²+2kx+1=0没有正根．（11分）．
综上可得，当k∈（4，+∞）时，方程f （x）=kx²有四个不同的实数解．（13分）．

点评 本题第一问考查单调性的判断，题目较易，第二问由方程有四个解来求参数的范围，本题对思维的严密性要求很高，需要熟练运用分类讨论的思想，因为题目中有太多的不确定性，本题难度较大．