Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面底面，且，为棱上一点，且．

（1）求证：平面；

（2）若二面角的余弦值为，求四棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）8.

【解析】

（1）连接，交于点，连接，可证，从而可证结论.
（2）取的中点，连接，,可得，由平面平面，则平面，则以为原点、的方向为轴正方向、的方向为轴正方向、的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，设，用向量方法根据二面角的余弦值为，求出的值，从而求出体积.

（1）连接，交于点，连接，如图．

∵，

∴与相似，∴．

∵，∴．

∵平面，平面，

∴平面．

（2）取的中点，连接，

∵，∴．

∵平面平面，交线为，∴平面，

∴，．

以为原点、的方向为轴正方向、的方向为轴正方向、的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，

则，，．如图

设，则，，，

平面的一个法向量．

设平面的法向量，则

取，

由，解得．

∴．