Question

【题目】如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．

（1）求证：平面．

（2）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）在底面中证明即可证得线面垂直；

（2）分别以直线，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，令，然后写出各点坐标，求出平面和平面的法向量，由法向量夹角与二面角的关系求得（为的函数），由函数知识可得最大值和最小值，即得取值范围．

（1）证明：在梯形中，∵，，，

∴．∴，

∴，∴．

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面．

（2）解：分别以直线，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，

令，则，，，，

∴，．

设为平面的一个法向量，

由，得

取，则．

∵是平面的一个法向量，

∴．

∵，

∴当时，有最小值；

当时，有最大值．

∴．