Question

【题目】设椭圆过点，且直线过的左焦点.

（1）求的方程；

（2）设为上的任一点，记动点的轨迹为，与轴的负半轴、轴的正半轴分别交于点，的短轴端点关于直线的对称点分别为、，当点在直线上运动时，求的最小值；

（3）如图，直线经过的右焦点，并交于两点，且在直线上的射影依次为，当绕转动时，直线与是否相交于定点？若是，求出定点的坐标，否则，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）当绕转动时，直线与相交于定点

【解析】

（1）由题设知a＝2，进一步求得c，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；

（2）求出轨迹为Γ的方程，端点G、H的坐标，得到GH所在直线方程，设P的坐标，利用数量积的坐标运算把转化为P的纵坐标的二次函数求最值；

（3）当直线l斜率不存在时，直线l⊥x轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点N（，0），猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点N（，0）．设出直线方程及A（x1，y1），B（x2，y2），知D（4，y1），E（4，y2）．当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点N（，0），再证点N（，0）也在直线lBD上，可得当l绕F转动时，直线AE与BD相交于定点（，0）．

解：（1）由已知得a＝2，在直线x﹣5y+1＝0中，取y＝0，得x＝﹣1，可得c＝1．

∴b2＝a2﹣c2＝3，

∴椭圆C的方程为；

（2）由为C上的点，得，

∴Γ：，则G（﹣2，0），H（0，1），

∴GH：，即x﹣2y+2＝0．

椭圆C的短轴两端点分别为（0，），（0，），

两点关于直线y＝x的对称点分别为F1（，0）、F2（，0），

设P（x0，y0），则x0﹣2y0+2＝0，

，，

则，

∴的最小值为；

（3）当直线l斜率不存在时，直线l⊥x轴，则ABED为矩形，

由对称性知，AE与BD相交FK的中点N（，0），

猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点N（，0）．

证明：设直线l方程y＝k（x﹣1），

直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），则D（4，y1），E（4，y2），

联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，

∴，，

当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点N（，0），

∵AE：（x﹣4），当x时，y（

0，

∴点N（，0）在直线lAE上，

同理可证，点N（，0）也在直线lBD上．

∴当l绕F转动时，AE与BD相交于定点（，0）．