Question

【题目】已知曲线与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用绝对值的几何意义，由x＝|y|﹣2可得，y≥0时，x＝y﹣2；y＜0时，x＝﹣y﹣2，函数x＝|y|﹣2的图象与方程y2+λx2＝4的曲线必相交于（0，±2），为了使曲线C1：|y|﹣x＝2与曲线C2：λx2+y2＝4恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．x＝y﹣2代入方程y2+λx2＝4，整理可得（1+λ）y2﹣4λy+4λ﹣4＝0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得y＜0时的情形．

解：由x＝|y|﹣2可得，y≥0时，x＝y﹣2；

y＜0时，x＝﹣y﹣2，

∴函数x＝|y|﹣2的图象与方程y2+λx2＝4的曲线必相交于（0，±2），

所以为了使曲线C1：|y|﹣x＝2与曲线C2：λx2+y2＝4恰好有两个不同的公共点，

则将x＝y﹣2代入方程y2+λx2＝4，

整理可得（1+λ）y2﹣4λy+4λ﹣4＝0，

当λ＝﹣1时，y＝2满足题意，

∵曲线C1：|y|﹣x＝2与曲线C2：λx2+y2＝4恰好有两个不同的公共点，

∴△＞0，2是方程的根，

∴0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；

综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）．

故选：C．