Question

【题目】函数

(1)讨论函数在区间上的极值点的个数；

(2)已知对任意的恒成立，求实数k的最大值．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)-1

【解析】

（1）由题意，求得函数的导数，分类讨论，得出函数的单调性，进而可求得函数的极值点的个数；

（2）设，先征得当时是成立的，再对时，总存在，作出证明，进而得到实数的最大值。

（1）

①当时，

，，

单调递增，在上无极值点

②当时

在上单调递减，，

存在使得，则为的极大值点；

在上单调递增，，

存在使得，则为的极小值点；

在上存在两个极值点

③当时

在上单调递增，，

存在使得，则为的极小值点；

在上单调递减，，

存在使得，则为的极大值点；

在上存在两个极值点

综上所述：当时，在上无极值点；当或时，在上有两个极值点。

（2）设（）

①先证明时成立，证明过程如下：

，

，

，

，，

在上单调递增，

在上单调递增，

即对任意的，恒成立

②下证对，总存在， ，

，

，

，

当时，，

（i）当时，

（ii）当时，，

综（i）（ii）可知，当时，

在上单调递增

，

使得

时

在上单调递减

时

即存在，综上所述，的最大值为