Question

【题目】已知函数，.

（1）若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）已知，当，试比较与的大小，并给予证明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3），证明见解析.

【解析】

（1）根据极值点定义可构造方程求得，根据导数几何意义可求得结果；

（2）分别在和两种情况下，根据导函数的正负得到原函数的单调区间；

（3）令，可求得；令，利用导数和零点存在定理可确定，即的正负，从而得到的单调性和最值，通过最值可知，进而得到大小关系.

（1）由题意得：，

是的极值点，，解得：

，又，

所求切线方程为，即.

（2）由题意得：定义域为，，

当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，令，解得：，

当时，；当时，；

的单调递增区间为；单调递减区间为；

综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

（3）令，

则，

令，则，

函数在上单调递增，

又，，存在唯一零点，使得

当时，；当时，；

当时，；当时，；

函数在上单调递减，在上单调递增，，

又，即，，，

在上恒成立.