Question

【题目】设为数列的前n项和，且，当时，.

（I）证明：数列为等比数列；

（Ⅱ）记，求.

Answer 1

【答案】（I）见解析（Ⅱ）

【解析】

（I）当n≥2时，（n﹣1）an＝（n+1）Sn﹣1+n（n﹣1），n∈N*．可得（n﹣1）（Sn﹣Sn﹣1）＝（n+1）Sn﹣1+n（n﹣1），化为：1＝2（1），1＝2．即可证明．

（II）由（I）可得：1＝2n，可得：Sn＝n2n﹣n．设数列{n2n}的前n项和为An．利用错位相减法即可得出An，再写出即可.

（I）当时，，

所以，

即，则，

所以，又，

故数列是首项为2，公比为2的等比数列.

（II）由（I）可得：1＝2n，可得：Sn＝n2n﹣n．

设数列{n2n}的前n项和为An．

∴An＝2+222+323+……+n2n，

2An＝22+223+……+（n﹣1）2n+n2n+1，

∴﹣An＝2+22+……+2n﹣n2n+1n2n+1，

可得：An＝（n﹣1）2n+1+2．

∴Tn＝S1+S2+…+Sn＝（n﹣1）2n+1+2．