Question

【题目】如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，，点是棱的中点，，点在平面的射影为，为棱上一点，

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若为棱的中点，，求直线与平面所成角的正弦值。

Answer 1

【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)

【解析】

（Ⅰ）推导出BC⊥PO，BC⊥DE，从而BC⊥平面PED，由此能证明平面PED⊥平面BCF．

（Ⅱ）设AC∩BD＝Q，以Q为原点，QB，QC分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CF与平面PAB所成角的正弦值．

（Ⅰ）平面，平面，

依题意得为等边三角形，为棱的中点，

又平面，平面

又平面，平面平面.

（Ⅱ）设，以为坐标原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，

则，

设平面的一个法向量为，则，即，令，

得，

，故直线与平面所成角的正弦值为