【题目】已知函数
(Ⅰ)若函数存在最小值,且最小值大于
,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)若存在实数,使得
,求证:函数
在区间
上单调递增。
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)详见解析
【解析】
(Ⅰ)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间,求出函数的最小值,从而确定a的范围即可;
(Ⅱ)令h(x)=f(x)﹣f(2a﹣x),x∈(0,a),得到f(x1)>f(2a﹣x1),结合f(x1)=f(x2),从而证明结论.
(Ⅰ)f′(x),
①a≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)恒成立,
∴f(x)在(0,+∞)递增,故无最小值;
②a>0时,由f′(x)>0,解得:x>a,
由f′(x)<0,解得:0<x<a,
故f(x)在(0,a)递减,在(a,+∞)递增,
此时f(x)有最小值,且f(x)min=a(1﹣a﹣lna),
令g(a)=1﹣a﹣lna(a>0),
则g(a)在(0,+∞)递减,又g(1)=0,
∴0<a<1时,g(a)>0,此时f(x)min>0,
a≥1时,g(a)≤0,此时f(x)min≤0,
故a的范围是(0,1);
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,要存在实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2),则a>0,
∵f(x)在(0,a)递减,在(a,+∞)递增,
不妨设0<x1<x2,则0<x1<a,
令h(x)=f(x)﹣f(2a﹣x),x∈(0,a),
则h′(x),
∴x∈(0,a)时,h′(x)<0,
∴h(x)在(0,a)递减,
∵x1∈(0,a),∴h(x1)>h(a)=f(a)﹣f(a)=0,
即f(x1)﹣f(2a﹣x1)>0,
∴f(x1)>f(2a﹣x1),
∵f(x1)=f(x2),
∴f(x2)>f(2a﹣x1),
∵0<x1<a,∴2a﹣x1>a,
∵f(x)在(a,+∞)递增,
∴x2>2a﹣x1,∴a,
∴函数f(x)在区间[,+∞)递增,
∵x1≠x2,∴,
∴函数f(x)在区间[,+∞)上单调递增.
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【题目】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
①;
②;
③;
④;
⑤;
(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
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【题目】下列关于空间向量的命题中,正确的有______.
①若向量,
与空间任意向量都不能构成基底,则
;
②若非零向量,
,
满足
,
,则有
;
③若,
,
是空间的一组基底,且
,则
,
,
,
四点共面;
④若向量,
,
,是空间一组基底,则
,
,
也是空间的一组基底.
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【题目】某地需要修建一条大型输油管道通过720千米宽的荒漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站).经预算,修建一个增压站的工程费用为108万元,铺设距离为千米的相邻两增压站之间的输油管道费用为
万元.设余下工程的总费用为
万元.
(1)试将表示成关于
的函数;
(2)需要修建多少个增压站才能使总费用最小?
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【题目】如图,已知四棱锥的底面是边长为
的菱形,
,点
是棱
的中点,
,点
在平面
的射影为
,
为棱
上一点,
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)若为棱
的中点,
,求直线
与平面
所成角的正弦值。
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【题目】一场小型晚会有个唱歌节目和
个相声节目,要求排出一个节目单.
(1)个相声节目要排在一起,有多少种排法?
(2)个相声节目彼此要隔开,有多少种排法?
(3)第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目,有多少种排法?
(4)前个节目中要有相声节目,有多少种排法?
(要求:每小题都要有过程,且计算结果都用数字表示)
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【题目】已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.
(1)求a,b,c,d的值;
(2)若x≥-2时,恒有f(x)≤kg(x),求k的取值范围.
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【题目】如图所示,正四棱椎P-ABCD中,底面ABCD的边长为2,侧棱长为.
(I)若点E为PD上的点,且PB∥平面EAC.试确定E点的位置;
(Ⅱ)在(I)的条件下,点F为线段PA上的一点且,若平面AEC和平面BDF所成的锐二面角的余弦值为
,求实数
的值.
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【题目】随着国家二孩政策的全面放开,为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿,某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了位育龄妇女,结果如表.
非一线 | 一线 | 总计 | |
愿生 | |||
不愿生 | |||
总计 |
附表:
| |||
由算得,
参照附表,得到的正确结论是( )
A. 在犯错误的概率不超过的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”
B. 有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
C. 在犯错误的概率不超过的前提下,认为“生育意愿与城市级别无关”
D. 有以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
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