Question

【题目】已知函数，．

（1）求在点P(1，)处的切线方程；

（2）若关于x的不等式有且仅有三个整数解，求实数t的取值范围；

（3）若存在两个正实数，满足，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）求出P（1，0），x＞0，，f′（1）=1，利用导数的几何意义能求出f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程．

（2）求出，x＞0，则f′（x）=0，得x=e，列表讨论能求出实数t的取值范围．

（3）h（x）=x2﹣2x+4lnx，从而（x1+x2）2﹣2（x1+x2）﹣4lnx1x2，令t=x1x2，=t2+2t﹣4lnt，（t＞0），…（11分）则=2t+2﹣=，由此利用导数性质能证明x1+x2≥3．

（1），，所以点坐标为；

又，，则切线方程为，

所以函数在点处的切线方程为．

（2）

	正	0	负
	单调增	极大值	单调减

由， 得；

时，或，满足条件的整数解有无数个，舍；

时，，得且，满足条件的整数解有无数个，舍；

时，或，当时，无整数解；

当时，不等式有且仅有三个整数解，又，，

因为在递增，在递减；所以， 即，即；

所以实数的取值范围为．

（3），

因为，

所以，

即，

令，，

则，

当时，，所以函数在上单调递减；

当时，，所以函数在上单调递增．

所以函数在时，取得最小值，最小值为3．

因为存在两个正实数，满足，所以，

即，所以或．

因为为正实数，所以．