Question

求函数y=tan(x+)的定义域、周期和单调区间.

Answer 1

活动:类比正弦、余弦函数,本例应用的是换元法,由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换元法,所以这里也就不用再介绍换元法,可以直接将x+作为一个整体.教师可让学生自己类比地探究,只是提醒学生注意定义域.

解:函数的自变量x应满足x+≠kπ+,k∈Z,

即x≠2k+,k∈Z.

所以函数的定义域是{x|x≠2k+,k∈Z}.

由于f(x)=tan(x+)=tan(x++π)=tan(x+2)+]=f(x+2),

因此,函数的周期为2.

由-+kπ＜x+＜+kπ,k∈Z,解得-+2k＜x＜+2k,k∈Z.

因此,函数的单调递增区间是(-+2k,+2k),k∈Z.

点评:同y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)的周期性的研究一样,这里可引导学生探究y=Atan(ωx+φ) (ω＞0)的周期T=.