Question

已知：函数f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x）（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）求f（x）定义域，并判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求使f（x）＞0的x的解集．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据对数函数的定义可求出f（x）定义域，再利用函数奇偶性定义判断出f（x）为奇函数；
（Ⅱ）f（x）＞0可以转化为log_a（2+x）＞log_a（2-x），根据对数函数的图象和性质进行分类讨论即可求出．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x）（a＞0且a≠1）
∴

2+x＞0 2-x＞0

，
解得-2＜x＜2，
故所求函数f（x）的定义域为{x|-2＜x＜2}．
且f（-x）=log_a（-x+2）-log_a（2+x）=-[log_a（x+2）-log_a（2-x）]=-f（x），
故f（x）为奇函数．
（Ⅱ）解：原不等式可化为：log_a（2+x）＞log_a（2-x）
①当a＞1时，y=log_ax单调递增，
∴

2+x＞2-x -2＜x＜2

即0＜x＜2，
②当0＜a＜1时，y=log_ax单调递减，
∴

2+x＜2-x -2＜x＜2

即-2＜x＜0，
综上所述：当a＞1时，不等式解集为（0，2）；当0＜a＜1时，不等式解集为（-2，0）

点评：本题主要考查了对数函数的定义和函数的奇偶性和单调性以及不等式的解法，属于基础题