Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），满足f（1）=1，f（1）=0且f（x+1）是偶函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知周期为2的奇函数g（x），当x∈[0，1）时，g（x）=f（x+1），求g（x）在区间（1，3）上反函数的解析式．
（3）设h（x）=

f(x)，x≥1 -f(2-x)，x＜1

，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式h（x+t）≤h（x²）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据已知中函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），满足f（1）=1，f（1）=0且f（x+1）是偶函数，构造关于a，b，c的方程解方程可得答案
（2）根据周期为2的奇函数g（x），当x∈[0，1）时，g（x）=f（x+1），求出g（x）在区间（1，3）上的解析式，进而可得g（x）在区间（1，3）上反函数的解析式．
（3）由h（x）=

f(x)，x≥1 -f(2-x)，x＜1

为增函数，故对任意的x∈[t，t+2]，不等式h（x+t）≤h（x²）恒成立，可化为x+t≤x²对任意的x∈[t，t+2]恒成立，令v（x）=x²-x-t，分类讨论函数的最小值，综合讨论结果，可得实数t的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x+1）是偶函数．
∴函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）的图象关于直线x=1对称，
又∵函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），满足f（1）=1，f（1）=0，
∴

f(0)=c=1 f(1)=a+b+c=0 - b 2a =1

，
解得：

a=1 b=-2 c=1

，
∴f（x）=x²-2x+1，
（2）∵当x∈[0，1）时，g（x）=f（x+1）=x²，
且函数g（x）是周期为2的奇函数，
∴当x∈[1，2）时，-x+2∈[0，1），
∴g（-x+2）=g[-（x-2）]=-g（x-2）=-g（x）=（-x+2）²，
∴g（x）=-（x-2）²∈[-1，0），此时g^-1（x）=

-x

+2，
∴当x∈[2，3）时，x-2∈[0，1），
∴g（x-2）=g（x）=（x-2）²，
∴g（x）=（x-2）²∈[0，1），此时g^-1（x）=

x

+2，
∴g（x）=

-(x-2)2，x∈(1，2] (x-2)2，x∈(2，3]

，
∴g^-1（x）=

x +2，x∈[0，1) -x +2，x∈[-1，0)

，
（3）∵h（x）=

f(x)，x≥1 -f(2-x)，x＜1

=

(x-1)2，x≥1 -(x-1)2，x＜1

在R上单调递增，
故不等式h（x+t）≤h（x²）恒成立可化为x+t≤x²对任意的x∈[t，t+2]恒成立，
令v（x）=x²-x-t，则函数v（x）的图象是开口朝上且以直线x=

1

2

为对称轴的抛物线，
①当t≥

1

2

时，v（x）在[t，t+2]上单调递增，
当x=t时，v（x）取最小值t²-2t，
则t²-2t≥0，解得t≤0，或t≥2，
∴t≥2；
②当t+2≤

1

2

，即t≤-

3

2

时，v（x）在[t，t+2]上单调递减，
当x=t+2时，v（x）取最小值t²+2t+2，
由t²+2t+2≥0恒成立，
∴t≤-

3

2

；
③当t＜

1

2

＜t+2，即-

3

2

＜t＜

1

2

时，
当x=

1

2

时，v（x）取最小值-

1

4

-t，
由-

1

4

-t≥0得：t≤-

1

4

；
∴-

3

2

＜t≤-

1

4

；
综上所述，实数t的取值范围为t≤-

1

4

，或t≥2

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的奇偶性，函数的恒成立问题，反函数，是函数图象和性质的综合应用，难度较大．