Question

【题目】已知函数.

(1)若，试判断函数的零点个数；

(2)若函数在上为增函数，求整数的最大值，(可能要用的数据: ； ).

Answer 1

【答案】（1）1个；（2）6

【解析】试题分析：(Ⅰ)根据导数求解函数的单调性，利用零点的存在定理，即可判定函数在上的零点的个数.

(Ⅱ)由题意，把在上恒成立， 在上恒成立，进而转化为

在上恒成立，令，即，利用导数求解函数的单调性和最小值，即可求解实数的取值范围.

试题解析：

(1)因为，易知在上为增函数，则，

故在上为增函数，又， ，

所以函数在上的零点有且只有1个.

(2)因为，由题意在上恒成立，

因为显然成立，故只需在上恒成立，

令，则

因为

由(1)可知: 在上为增函数，故在上有唯一零点记为， ， ，

则， ，

则在为减函数，

在为增函数，

故时， 有最小值.

令，则最小值有 ，

因，则的最小值大约在之间，故整数的最大值为6.