Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，AB=5，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，

∴CC1⊥平面ABC，AC平面ABC，

∴CC1⊥AC

∵AC=3，BC=4，AB=5，

∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥CB

又C1C∩CB=C，

∴AC⊥平面C1CB1B，又BC1平面C1CB1B，

∴AC⊥BC1

（2）证明：设CB1∩BC1=E，∵C1CBB1为平行四边形，

∴E为C1B的中点

又D为AB中点，∴AC1∥DE

DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1

【解析】（1）利用ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，证明CC1⊥AC，利用AB2=AC2+BC2 ， 说明AC⊥CB，证明AC⊥平面C1CB1B，推出AC⊥BC1 ． （2）设CB1∩BC1=E，说明E为C1B的中点，说明AC1∥DE，然后证明AC1∥平面CDB1 ．
【考点精析】通过灵活运用空间中直线与直线之间的位置关系和直线与平面平行的判定，掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点；平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行即可以解答此题．