Question

【题目】设函数f（x）=ex﹣ax﹣2．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=ex﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=ex﹣a，

若a≤0，则f′（x）=ex﹣a≥0，所以函数f（x）=ex﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．

若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=ex﹣a＜0；

当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=ex﹣a＞0；

所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．

（2）解：由于a=1，所以，（x﹣k） f（x）+x+1=（x﹣k） （ex﹣1）+x+1

故当x＞0时，（x﹣k） f（x）+x+1＞0等价于k＜ （x＞0）①

令g（x）= ，则g′（x）=

由（1）知，当a=1时，函数h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，

而h（1）＜0，h（2）＞0，

所以h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，

故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）

当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；

所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．

又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）

由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．

【解析】（1）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（2）由题设条件结合（1），将不等式，（x﹣k） f（x）+x+1＞0在x＞0时成立转化为k＜ （x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）= 在x＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．