Question

已知f（x-1）=x+x²+x³+…+xⁿ，记f（x）的展开式中x项的系数为S_n，x³项的系数为T_n，则

lim

n→∞

Tn

Sn2

=

 

．

Answer 1

分析：通过换元先求出f（x），再求出展开式中x项的系数及x³项的系数，利用组合数的性质：C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m化简两个系数，化简后的值代入极限式求出值．

解答：解：令x-1=t则x=t+1
∴f（t）=（t+1）+（t+1）²+（t+1）³+…+（t+1）ⁿ
∴f（x）=（x+1）+（x+1）²+（x+1）³+…+（x+1）ⁿ
∴s_n=1+C₂¹+C₃¹+…+C_n¹
=

C

2 n+1

=

(n+1)n

2

T_n=C₃³+C₄³+…+C_n³=C_n+1⁴

(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)

1×2×3×4

∴

lim

n→∞

Tn

Sn2

=

lim

n→∞

(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) 1×2×3×4

( (n+1)n 2 )2

=

1

6

故答案为

1

6

点评：本题考查利用换元法求出还是解析式；利用二项展开式的通项公式求特定项的系数；利用组合数的性质化简组合数的和．