Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，平面B₁交A₁D₁于F．
（1）指出FA₁D₁上的位置，并说明理由； 
（2）求直线A₁C与DE所成的角：
（3）求直线AD与平面B₁ED所成的角．

Answer 1

分析：（1）以A为坐标原点，建立空间坐标系，设F（0，y，a），求出FD，B₁E对应的向量，进而由FD∥B₁E和向量平行的充要条件，可求出y值，进而判断出F点的位置；
（2）求出直线A₁C与DE的方向向量，代入向量夹角公式，可得直线A₁C与DE所成的角：
（3）设出平面B₁ED的法向量及直线AD的方向向量，代入向量夹角公式，可得直线AD与平面B₁ED所成的角．

解答：解：（1）建立如图所示的空间坐标系．
由正方体的性质，有B₁F∥ED，B₁E∥FD．
设F（0，y，a）
则

FD

=(0，a-y，-a)，

BE

=(0，

a

2

，-a)，
由FD∥B₁E得a-y=

a

2

，即y=

a

2

，
∴F为A₁D₂的中点．
（2）

A1C

=(a，a，-a)，

DE

=(a，-

a

2

，0)，
∴cos(

A1C

，

DE

)=

a2- 1 2 a2

3 a? 5 2 a

=

1

15

=

15

15

．
∴A₁C与DE所成的角arccos

15

15

．
（3）设平面B₁ED的法向量为

n

=（x，y，z），
则由

n

⊥

B1E

，

n

⊥

DE

得，

a 2 y-az=0 a- a 2 y=0

⇒

y=2z y=2x

⇒

n

=(x，2x，x)
取x=1，得

n

=（1，2，1），
又

AD

=(0，a，0)，
∴cos(n，

.

AD

)=

2a

6 a

=

6

3

，
∴直线AD与平面B₁ED所成的角为arccos

6

3

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面夹角问题，异面直线的夹角问题，其中建立空间坐标系，将直线夹角和线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．