Question

设函数f（x）=x²+|x-a|+1（x∈R，a＞0）
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求函数f（x）的最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）因为a＞0，通过观察解析式即可看出f（x）非奇非偶，只需举出反例，容易验证f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1）；
（2）去绝对值会发现得到的f（x）是分段函数，每段都是二次函数，所以可根据二次函数的单调性或取得顶点的情况求函数f（x）的最小值．

解答： 解：（1）f（-1）=2+|1+a|，f（1）=2+|1-a|，a＞0，∴|1+a|≠|1-a|即f（-1）≠f（1），且f（-1）≠-f（1）；
∴f（x）是非奇非偶函数；
（2）f（x）=

x2+x-a+1=(x+ 1 2 )2-a+ 3 4 x≥a x2-x+a+1=(x- 1 2 )2+a+ 3 4 x＜a

；
∴①x≥a时，f（x）在[a，+∞）上单调递增，∴此时，f（x）的最小值为f（a）=a²+1；
②x＜a时，若0＜a≤

1

2

，f（x）在（-∞，a）单调递减，∴f（x）＞f（a）=a²+1；
若a＞

1

2

，f（x）≥f(

1

2

)=a+

3

4

；
f（a）-f（

1

2

）=a2-a+

1

4

=(a-

1

2

)2≥0；
∴f（a）≥f(

1

2

)；
∴综上得，0＜a≤

1

2

时，f（x）的最小值为a²+1；
a＞

1

2

时，f（x）的最小值为a+

3

4

．

点评：考查处理含绝对值函数的方法：去绝对值，根据二次函数的单调性及顶点情况求二次函数的最小值，以及求分段函数最小值的方法．