Question

已知数列{a_n}满足S_n=

n(a1+an)

2

，其中S_n是数列{a_n}的前n项和．
（1）证明：数列{a_n}是等差数列；
（2）若a₁=1，S₂=4，求数列{

an

2n-1

}的最大值项．

Answer 1

考点：等差数列的性质,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用数列{a_n}的前n项和公式，得到S_n-1=

(n-1)(a1+an-1)

2

，S_n+1=

(n+1)(a1+an+1)

2

，再根据等差数列的定义即可证明
（2）由题意求出a_n=2n-1，设b_n=

an

2n-1

，求出b_n+1-b_n＞0，b_n+1-b_n＜0，故n=2时，数列{

an

2n-1

}有最大值项，问题得以解决

解答： 解（1）∵S_n=

n(a1+an)

2

，
∴S_n-1=

(n-1)(a1+an-1)

2

，S_n+1=

(n+1)(a1+an+1)

2

∴a_n=S_n-S_n-1=

n(a1+an)

2

-

(n-1)(a1+an-1)

2

，
同理有a_n+1=S_n+1-S_n=

(n+1)(a1+an+1)

2

-

n(a1+an)

2

，
从而a_n+1-a_n═

(n+1)(a1+an+1)

2

+

(n-1)(a1+an-1)

2

-n（a₁+a_n），
整理得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=a₂-a₁
从而{a_n}是等差数列．
（2）∵a₁=1，S₂=4，
∴a₁+a₂=S₂=4，
∴a₂=3，
∴a₂-a₁=3-1=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，
设b_n=

an

2n-1

，
∴b_n=

an

2n-1

=

2n-1

2n-1

，
∴b_n+1-b_n=

2n+1

2n

-

2n-1

2n-1

=

1

2n-1

（

3

2

-n），
∵

1

2n-1

＞0，
∴当n=1时，b₂-b₁＞0，当n≥2时，b_n+1-b_n＜0
∴当n=2时，数列{

an

2n-1

}有最大值项，
∴b₂=

3

2

，
故

3

2

为数列{

an

2n-1

}的最大值项．

点评：本题考查了等差数列的证明，以及求数列的最大值项的问题，关键是求出数列的通项公式，属于中档题．