Question

已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0）且方程f（x）=x无实数根，下列命题：
①方程f[f（x）]=x也一定没有实数根；
②若a＞0；则不等式f[f（x）]＞x对一切x都成立；
③若a＜0则必存在实数x₀，使f[f（x₀）]＞x₀；
④若a+b+c=0则不等式f[f（x）]＜x对一切x都成立．
其中正确命题的序号是

 

．（把你认为正确命题的所有序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x无实数根，得出函数y=ax²+bx+c与y=x的图象无交点，对选项中的命题进行分析判断，得出正确的结论．

解答： 解：∵由函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x无实数根，
即y=ax²+bx+c与y=x的图象无交点，
∴①函数y=f[f（x）]与y=x的图象无交点，即方程f[f（x）]=x没有实数根，①正确；
②当a＞0时，函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象开口向上，与y=x无交点，
∴f（x）的图象在y=x图象的上方，
∴不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立，②正确；
③同理，当a＜0时，函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象在y=x的下方，
f[f（x）]＜x恒成立，∴③错误；
④当a+b+c=0时，f（1）=0，结合题意知a＜0，函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象在y=x的下方，
不等式f[f（x）]＜x对一切x都成立，∴④正确．
综上，正确的答案为①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了复合函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合二次函数的图象与性质进行解答，是难理解的题目．