Question

已知函数f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x），其中a＞0，a≠1
（1）写出f（x）的奇偶性与单调性（不要求证明）；
（2）若函数y=f（x）的定义域为（-1，1），求满足不等式f（m²-1）+f（m-1）＜0的实数m的取值集合；
（3）当a∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负，求a的取值范围．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）运用f（-x）与f（x）关系式判断奇偶性，结合指数函数的单调性判断f（x）的单调性，
（2）根据单调性，奇偶性转化为-1＜1-m＜m²-1＜1，求解．
（3）根据单调性得出f（2）-4≤0，即

a

a2-1

(a2-a-2)-4=

a2+1

a

-4≤0，求解即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x），其中a＞0，a≠1，
∴f（-x）=

a

a2-1

（a^-x-a^x）=-f（x），其中a＞0，a≠1
∴f（x）是R上的奇函数，且在R上单调递增         
（2）由f（x）的奇偶性可得f（1-m）＜f（m²-1）
由f（x）的定义域及单调性可得-1＜1-m＜m²-1＜1，
解不等式组可得 1＜m＜

2

（3）由于f（x）在（-∞，2）上单调递增，要f（x）-4恒负，
只需f（2）-4≤0，
即

a

a2-1

(a2-a-2)-4=

a2+1

a

-4≤0，
2-

3

≤a≤2+

3

，
结合a＞0且a≠1可得：2-

3

≤a≤2+

3

且a≠1，

点评：本题考察了有关的指数函数的单调性，奇偶性，运用求解不等式式的解集，属于中档题．