Question

如图，边长为2的正方形ABCD中，E是AB边上的点，F是边BC上的点，且BE=BF，若将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A₁．
（1）当BE=BF=

1

2

BC时，求三棱锥A₁-EFD的体积；
（2）当BE=BF=

1

2

BC时，求二面角A₁-EF-D的平面角的正切值；
（3）当E、F点在何位置时，点A₁在正方形ABCD的对角线BD上．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由正方形ABCD知∠DCF=∠DAE=90°，得A₁D⊥A₁F且A₁D⊥A₁E，所以A₁D⊥平面A₁EF．由勾股定理的逆定理，得△A₁EF是以EF为斜边的直角三角形，而A₁D是三棱锥D-A₁EF的高线，可以算出三棱锥D-A₁EF的体积，即为三棱锥A₁-DEF的体积．
（2）由题意可得BE=BF，DE=DF，连结BD交EF于点G，连接A₁G，则可证明∠A₁GD为二面角A₁-EF-D的平面角，然后利用解三角形即可得到答案．
（3）设BE=BF=x时，点A₁在正方形ABCD的对角线BD上．此时EF=2（2-x），且EF²=BE²+BF²，解方程可得答案．

解答： 解：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，
∴A₁D⊥A₁F，A₁D⊥A₁E，
∵A₁E∩A₁F=A₁，A₁E、A₁F⊆平面A₁EF．
∴A₁D⊥平面A₁EF．
∵A₁F=A₁E=1，EF=

2

，
∴A₁F²+A₁E²=2=EF²，得A₁E⊥A₁F，
∴△A₁EF的面积为S_△A1EF=

1

2

，
∵A₁D⊥平面A₁EF．
∴A₁D是三棱锥D-A₁EF的底面A₁EF上的高线，
因此，三棱锥A₁-DEF的体积为：V_A1-DEF=V_D-A1EF=

1

3

S_△A1EF•A₁D=

1

3

．
（2）连接BD交EF于点G，连接A₁G，

∵在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，
∴BE=BF，DE=DF，
∴点G为EF的中点，
且BD⊥EF
∵正方形ABCD的边长为2，
∴A₁E=A₁F=1，
∴A₁G⊥EF
∴∠A₁GD为二面角A₁-EF-D的平面角
由（1）可得A₁D⊥A₁G，
∴△A₁DG为直角三角形
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BD=2

2

，EF=

2

，
∴BG=

2

2

，DG=

3 2

2

，
又AD=2
∴A₁G=

DG2-A1D2

=

2

2

，
∴tan∠A₁GD=

A1D

A1G

=2

2

，
∴二面角A'-EF-D的正切值为2

2

；
（3）设BE=BF=x时，点A₁在正方形ABCD的对角线BD上．
此时EF=2（2-x），
且EF²=BE²+BF²，
即[2（2-x）]²=2x²，
解得：x=4-2

2

，或x=4+2

2

（舍）
故BE=BF=4-2

2

时，点A₁在正方形ABCD的对角线BD上．

点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了二面角的平面角及其求法，利用空间向量求解是新课标意图的体现，关键是建立正确的空间右手系，此题是中档题．