Question

设数列{a_n}的首项a₁为常数，且a_n+1=3ⁿ-2a_n（n∈N）．
（1）证明：当a₁为不等于

3

5

的常数时，{a_n-

3n

5

}是等比数列；
（2）若a₁=

3

2

，{a_n}中是否存在连续三项成等差数列？若存在，说明理由．
（3）若{a_n}是递增数列，求a₁的取值范围．

Answer 1

考点：数列的函数特性,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：本题（1）根据等比数列的定义，利用条件得到连结两项的比为定值，得到本题结论；（2）假设存符合条件的连续三项，利用等差中项的特征，得到相应关系式，化简得到项数m的值，得到本题结论；（3）对（a₁-

3

5

）的符号进行分类讨论，得到关于n的恒成立问题，再联系到n的奇偶数情况，求出相关代数式的最值，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵a_n+1=3ⁿ-2a_n（n∈N），
∴an+1-

3n+1

5

=3ⁿ-2a_n-

3n+1

5

=

2

5

×3n-2a_n=-2（a_n-

3n

5

）．
∵a₁为不等于

3

5

的常数时
∴an-

3n

5

≠0．
∴

an+1- 3n+1 5

an- 3n 5

=-2．
∴{a_n-

3n

5

}是等比数列；
（2）{a_n}中是存在连续三项a₂，a₃，a₄成等差数列，以下证明．
∵a₁=

3

2

，
∴a1-

3

5

=

9

10

，
∴{a_n-

3n

5

}是以

9

10

为首项，以-2为公比的等比数列；
∴a_n-

3n

5

=

9

10

×（-2）^n-1，n∈N^*．
∴a_n=

9

10

×（-2）^n-1+

3n

5

，n∈N^*．
假设数列{a_n}中存在连续三项成等差数列，这三项分别为：a_m，a_m+1，a_m+2，
则有：2a_m+1=a_m+a_m+2，
即2×

9

10

×（-2）^m+2×

3m+1

5

=

9

10

×(-2)m-1+

3m

5

+

9

10

×(-2)m+1+

3m+2

5

，
化简得：(-

3

2

)m-1=-

27

8

，
∴m=4．
∴{a_n}中是存在连续三项a₄，a₅，a₆成等差数列．
（3）由（1）知：
（i）当a₁=

3

5

时，
a_n=

3n

5

，a_n+1=

3n+1

5

＞

3n

5

=a_n，{a_n}是递增数列；
当a₁≠

3

5

时，{a_n-

3n

5

}是首项为a1-

3

5

，公比为-2的等比数列．
∴a_n-

3n

5

=（a1-

3

5

）×（-2）^n-1，
∴a_n=

3n

5

+（a1-

3

5

）×（-2）^n-1，
∵{a_n}是递增数列，
∴a_n＜a_n+1，n∈N^*．
∴

3n

5

+（a1-

3

5

）×（-2）^n-1＜

3n+1

5

+（a₁-

3

5

）×（-2）ⁿ对于n∈N^*恒成立．
∴3（a₁-

3

5

）（-2）^n-1＜

2

5

×3ⁿ，…（*）．
（ii）当a₁＞

3

5

时，
①n为偶数时，（-2）^n-1＜0，（*）式恒成立，
②n为正奇数时，（-2）^n-1＞0，（*）式可化为：

15

4

（a 1-

3

5

）＜（

3

2

）ⁿ．
∵（

3

2

）ⁿ单调递增，∴(

3

2

)n≥

3

2

，
∴

15

4

（a 1-

3

5

）＜

3

2

，
即a₁＜1．
∴

3

5

＜a1＜1；
（iii）当a₁＜

3

5

时，
①n为正奇数时，（-2）^n-1＞0，（*）式恒成立，
②n为偶数时，（-2）^n-1＜0，（*）式可化为：

15

4

（a 1-

3

5

）＞-（

3

2

）ⁿ，
∵-（

3

2

）ⁿ单调递减，∴-(

3

2

)n≤-(

3

2

)2，
∴

15

4

（a 1-

3

5

）＞-

9

4

，即a₁＞0，
∴0＜a1＜

3

5

．
综上，0＜a₁＜1．

点评：本题考查了等差数列、等比数列的定义，还重点考查了分类讨论、化归转化的数学思想，本题有一定的难度和计算量，属于中档题．