【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数
的极小值;
(Ⅱ)设定义在上的函数
在点
处的切线方程为
:
,当
时,若
在
内恒成立,则称
为函数
的“转点”.当
时,试问函数
是否存在“转点”?若存在,求出转点的横坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)当时,函数
取到极大值为
,当
时,函数
取到极小值为-2.
(2)函数存在“转点”,且2是“转点”的横坐标.
【解析】试题分析:(1)先求导,令导数大于0得增区间,令导数小于0得减区间,根据单调性求最值. (2)求导,根据导数的几何意义得点处切线的斜率,根据点斜式得切线方程,从而可得
的解析式,因为
是函数
图像和切线的交点,则
.将函数
求导,用导数求其单调性,讨论
的取值范围判断
是否恒成立.
试题解析:解:(1)当时,
当,当
,
所以函数在
和
单调递增,在
单调递减,
所以当时,函数
取到极大值为
,
当时,函数
取到极小值为-2. 6分
(2)当时,函数
在其图像上一点
处的切线方程为
8分
设
且
当时,
在
上单调递减,
所以当时,
;
当时,
在
上单调递减,
所以当时,
;
所以在
不存在“转点” 11分
当时,
,即
在
上是增函数.
当时,
当
时,
即点
为“转点”.
故函数存在“转点”,且2是“转点”的横坐标. 12分
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的左右焦点与其短轴得一个端点是正三角形的三个顶点,点
在椭圆
上,直线
与椭圆交于
两点,与
轴,
轴分别相交于点
合点
,且
,点
时点
关于
轴的对称点,
的延长线交椭圆于点
,过点
分别做
轴的垂线,垂足分别为
.
(1) 求椭圆的方程;
(2)是否存在直线,使得点
平分线段
?若存在,请求出直线
的方程;若不存在,请说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】拖延症总是表现在各种小事上,但日积月累,特别影响个人发展.某校的一个社会实践调查小组,在对该校学生进行“是否有明显拖延症”的调查中,随机发放了110份问卷.对收回的100份有效问卷进行统计,得到如下列联表:
有明显拖延症 | 无明显拖延症 | 合计 | |
男 | 35 | 25 | 60 |
女 | 30 | 10 | 40 |
合计 | 65 | 35 | 100 |
(Ⅰ)按女生是否有明显拖延症进行分层,已经从40份女生问卷中抽取了8份问卷,现从这8份问卷中再随机抽取3份,并记其中无明显拖延症的问卷的份数为,试求随机变量
的分布列和数学期望;
(Ⅱ)若在犯错误的概率不超过的前提下认为无明显拖延症与性别有关,那么根据临界值表,最精确的
的值应为多少?请说明理由.
附:独立性检验统计量,其中
.
独立性检验临界值表:
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公司试销一种成本单价为500元的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于800元.经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看作一次函数y=kx+b(k≠0),函数图象如图所示.
(1)根据图象,求一次函数y=kx+b(k≠0)的表达式;
(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元.试问销售单价定为多少时,该公司可获得最大毛利润?最大毛利润是多少?此时的销售量是多少?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知是定义在
上的奇函数,且
.若对任意的
,
都有
.
(1)用函数单调性的定义证明: 在定义域上为增函数;
(2)若,求
的取值范围;
(3)若不等式对所有的
和
都恒成立,求实数
的取值范围.
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