本题考查导数的工具作用,考查学生利用导数研究函数的单调性的知识.考查学生对方程、函数、不等式的综合问题的转化与化归思想,将方程的根的问题转化为函数的图象交点问题,属于综合题型.
(1)确定出函数的定义域是解决本题的关键,利用导数作为工具,求出该函数的单调递增区间即为f'(x)>0的x的取值区间;
(2)方法一:利用函数思想进行方程根的判定问题是解决本题的关键.构造函数,研究构造函数的性质尤其是单调性,列出该方程有两个相异的实根的不等式组,求出实数a的取值范围.
方法二:先分离变量再构造函数,利用函数的导数为工具研究构造函数的单调性,根据题意列出关于实数a的不等式组进行求解
解:(1)函数
的定义域为
,………………………………………………1分
∵
, ………………………………………2分
∵
,则使
的
的取值范围为
,
故函数
的单调递增区间为
. ……………………………………………4分
(2)方法1:∵
,
∴
. …………………………6分
令
,
∵
,且
,
由
.
∴
在区间
内单调递减,在区间
内单调递增, ……………………8分
故
在区间
内恰有两个相异实根
……10分
即
解得:
.
综上所述,
的取值范围是
. ………………………………12分
方法2:∵
,
∴
. …………………………6分
即
,
令
, ∵
,且
,
由
.
∴
在区间
内单调递增,在区间
内单调递减.……………………8分
∵
,
,
,
又
,
故
在区间
内恰有两个相异实根
.
……………………………………10分
即
.
综上所述,
的取值范围是
. ……………………………12分