Question

1．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个以球心为圆心的圆上，则该正三棱锥的体积是（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{12}$

Answer 1

分析 正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，球的半径，就是三棱锥的高，再求底面面积，即可求解三棱锥的体积．

解答 解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的
三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，
设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=1$，∴a=$\sqrt{3}$
该正三棱锥的体积：$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（\sqrt{3}）^{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查棱锥的体积，棱锥的外接球的问题，考查空间想象能力，是基础题．