Question

16．已知双曲线C₁：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点到双曲线C₁的渐近线的距离为2，则p=8．

Answer 1

分析 利用双曲线的离心率求出ab关系，得到渐近线方程，利用抛物线的焦点到直线的距离求解即可．

解答 解：由题意可得双曲线C₁：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x，
化为一般式可得bx±ay=0，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=2，
解得b=$\sqrt{3}$a，∴y=±$\sqrt{3}$x
又抛物线C₂：x²=2py（p＞0）（p＞0）的焦点为（0，$\frac{p}{2}$），
故焦点到$\sqrt{3}$x±y=0的距离d=$\frac{\left|\frac{p}{2}\right|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{p}{4}$=2，
∴p=8，
故答案为：8．

点评 本题考查双曲线与抛物线的简单性质，涉及离心率的应用和点到直线的距离公式，属中档题．