Question

11．如图，在△AOB中，已知P为线段AB上的一点，且$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{PA}$．
（1）若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，求x，y的值；
（2）若|$\overrightarrow{OB}$|=6，且∠AOB=$\frac{π}{3}$，求$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意，根据向量的三角形法则，得到$\overrightarrow{OP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$，问题得以解决．
（2）设|$\overrightarrow{OA}$|=t，根据向量的运算，得到$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$=t+12-$\frac{2}{3}$t²=-$\frac{2}{3}$（t-$\frac{3}{4}$）²-$\frac{93}{8}$，根据二次函数的性质，求出最值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{PA}$，
∴$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OB}$=2（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OP}$），
∴3$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
∴x=$\frac{2}{3}$，y=$\frac{1}{3}$，
（2）∵|$\overrightarrow{OB}$|=6，且∠AOB=$\frac{π}{3}$，设|$\overrightarrow{OA}$|=t，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OB}$|•|$\overrightarrow{OA}$|•cos$\frac{π}{3}$=3t，
由（1）知$\overrightarrow{OP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$）（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{OB}$|²-$\frac{2}{3}$|$\overrightarrow{OA}$|²，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$=t+12-$\frac{2}{3}$t²=-$\frac{2}{3}$（t-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{99}{8}$
当t=$\frac{3}{4}$时，有最大值，最大值为$\frac{99}{8}$．

点评 本题考点是向量在几何中的应用，综合考查了向量三角形法则，向量的线性运算，向量的数量积的运算及数量积公式，熟练掌握向量的相关公式是解题的关键，本题是向量基本题，计算题