Question

1．对于每一个实数x，设f（x）是4x+1，x+2和4-2x三个函数中的最小值，则f（x）的最大值是（　　）

• A． $\frac{8}{3}$
• B． 3
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，分段求最大值得出．

解答 解：解$\left\{\begin{array}{l}{4x+1＜x+2}\\{4x+1＜4-2x}\end{array}\right.$，得x$＜\frac{1}{3}$，解$\left\{\begin{array}{l}{x+2＜4x+1}\\{x+2＜4-2x}\end{array}\right.$，得$\frac{1}{3}＜x＜\frac{2}{3}$，解$\left\{\begin{array}{l}{4-2x＜4x+1}\\{4-2x＜x+2}\end{array}\right.$，得x$＞\frac{2}{3}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4x+1，x≤\frac{1}{3}}\\{x+2，\frac{1}{3}＜x＜\frac{2}{3}}\\{4-2x，x≥\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
当x$≤\frac{1}{3}$时，f（x）是增函数，f_max（x）=f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{7}{3}$，
当$\frac{1}{3}＜x＜\frac{2}{3}$时，f（x）是增函数，f_max（x）=f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{8}{3}$，
当x≥$\frac{2}{3}$时，f（x）是减函数，f_max（x）=f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{8}{3}$．
综上，f（x）的最大值是$\frac{8}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了分段函数最值的求法，求出f（x）的解析式是关键．