Question

6．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=$\frac{3}{5}$，tan（A-B）=-$\frac{1}{2}$．
（1）求tanB的值；
（2）若b=5，求c．

Answer 1

分析 （1）根据同角的三角函数关系求出tanA，再利用两角差的正切公式，即可求出tanB；
（2）求出sinB与cosB，计算sinC的值，利用正弦定理即可求出c的值．

解答 解：（1）锐角三角形ABC中，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴cosA=$\frac{4}{5}$，tanA=$\frac{3}{4}$；
又tan（A-B）=$\frac{tanA-tanB}{1+tanA•tanB}$=$\frac{\frac{3}{4}-tanB}{1+\frac{3}{4}tanB}$=-$\frac{1}{2}$，
∴解得tanB=2；
（2）∵tanB=2，∴$\frac{sinB}{cosB}$=2，sinB=2cosB；
∴sin²B+cos²B=4cos²B+cos²B=5cos²B=1，
∴cosB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
∴sinC=sin[π-（A+B）]
=sin（A+B）
=sinAcosB+cosAsinB
=$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
=$\frac{11\sqrt{5}}{25}$；
又b=5，且$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴c=$\frac{b•sinC}{sinB}$=$\frac{5×\frac{11\sqrt{5}}{25}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{11}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了同角的三角函数关系的应用问题，是基础题目．