Question

14、如果关于x的不等式|x-3|-|x-4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值范围是

a＞-1

．

Answer 1

分析：利用不等式的性质对|x-3|-|x-4|进行放缩和分类讨论，求出|x-3|-|x-4|的最小值，即可求解．

解答：解：令f（x）=|x-3|-|x-4|，
①x＜3，f（x）=3-x-（4-x）=-1；
②3≤x≤4，f（x）=x-3-（4-x）=2x-7，∴-1≤f（x）≤1；
③x＞4，f（x）=x-3-（x-4）=1，∴f（x）=1，
综上f（x）≥-1，
∵关于x的不等式|x-3|-|x-4|＜a的解集不是空集，
∴a＞-1，
故答案为a＞-1．

点评：此题考查绝对值不等式的放缩问题及函数的恒成立问题，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意不等号进行放缩的方向．