Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标，直线经过点，且倾斜角为.

（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的标准参数方程；

（2）直线与曲线交于两点，直线的参数方程为（t为参数），直线与曲线交于两点，求证:.

Answer 1

【答案】（1），（t为参数）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）利用消参得到曲线的直角坐标方程，求点的直角坐标，再直接写成直线的标准参数方程；（2）首先将直线的参数方程和曲线联立，利用参数的几何意义可知,同理可得，利用根与系数的关系证明.

（1）由（为参数）消去参数得

由得点的直角坐标为

∴直线的标准参数方程为（t为参数）

（2）将直线的标准参数方程（t为参数）代入得

化简得

设方程两根为，则

由直线参数方程中的几何意义得

同理将的参数方程代入的参数方程可得