如图,在长方体,中,,点在棱AB上移动.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)当为的中点时,求点到面的距离;
(Ⅲ)等于何值时,二面角的大小为.
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ).
解析试题分析:(Ⅰ)建立空间坐标,分别求出的坐标,利用数量积等于零即可;(Ⅱ)当为的中点时,求点到平面的距离,只需找平面的一条过点的斜线段在平面的法向量上的投影即可;(Ⅲ)设,因为平面的一个法向量为,只需求出平面的法向量,然后利用二面角为,根据夹角公式,求出即可.
试题解析:以为坐标原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系,设,则,
(Ⅰ),,故 ;
(Ⅱ)因为为的中点,则,从而, ,设平面的法向量为,则 也即,得,从而,所以点到平面的距离为 ;
(Ⅲ)设平面的法向量, 而, 由,即,得,依题意得: , ,解得 (不合,舍去), ∴时,二面角的大小为.
考点:空间向量在立体几何中应用.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示,四棱锥P—ABCD中,ABAD,CDAD,PA底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点。
(1)求证:BM∥平面PAD;
(2)在侧面PAD内找一点N,使MN平面PBD;
(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成的角为60°.
(1)求证:AC⊥平面BDE;
(2)求二面角F-BE-D的余弦值;
(3)设点M是线段BD上一个动点,试确定点M的位置,使得AM∥平面BEF,并证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示,四边形为直角梯形,,,为等边三角形,且平面平面,,为中点.
(1)求证:;
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值;
(3)在内是否存在一点,使平面,如果存在,求的长;如果不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图在棱长为1的正方体中,M,N分别是线段和BD上的点,且AM=BN=
(1)求||的最小值;
(2)当||达到最小值时,与,是否都垂直,如果都垂直给出证明;如果不是都垂直,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在多面体ABCDE中,DB⊥平面ABC,AE∥DB,且△ABC是边长为2的等边三角形,AE=1,CD与平面ABDE所成角的正弦值为.
(Ⅰ)若F是线段CD的中点,证明:EF⊥面DBC;
(Ⅱ)求二面角D-EC-B的平面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.
(I)求证:A1C⊥平面BCDE;
(II)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1底面△ABC中,CA=CB=1,
∠BCA=90°,棱AA1=2,M是A1B1的中点.
(1)求cos(,)的值;
(2)求证:A1B⊥C1M.
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