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已知Sn=1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
2n
(n>1,n∈N*).求证:S2n>1+
n
2
(n≥2,n∈N*).
分析:首先证明当n=2时等式成立,再假设n=k时不等式成立,得到不等式
S
 
2k
=1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
2k
≥1+
k
2
,下面证明当n=k+1时等式左边=1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
2k+1
+…+
1
2k+1
,根据前面的假设化简即可得到结果,最后得到结论.
解答:证明:(1)当n=2时,左边=1+
1
2
+
1
3
+
1
4
=
25
12
,右边=1+
2
2
=2,
∴左边>右边
(2)假设n=k(k≥2)时不等式成立,即
S
 
2k
=1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
2k
≥1+
k
2

当n=k+1时,不等式左边S2(k+1)=1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
2k+1
+…+
1
2k+1

>1+
k
2
+
1
2k+1
+…+
1
2k+1
>1+
k
2
+
2k
2k+2k
=1+
k
2
+
1
2
=1+
k+1
2

综上(1)(2)可知S2n>1+
n
2
对于任意的n≥2正整数成立.
点评:本题考查用数学归纳法证明等式成立,用数学归纳法证明问题的步骤是:第一步验证当n=n0时命题成立,第二步假设当n=k时命题成立,那么再证明当n=k+1时命题也成立.本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立,本题是一个中档题目.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知sn=1+
1
2
+
1
3
+…
1
n
(n∈N*)
,设f(n)=s2n+1-sn+1,试确定实数m的取值范围,使得对于一切大于1的正整数n,不等式f(n)>[logm(m-1)]2-
11
20
[log(m-1)m]2
恒成立.

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+
1
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+…+
1
n
,(n∈N*),设f (n)=S2n+1-Sn+1,试确定实数m的取值范围,使得对于一切大于1的自然数n,不等式f(n)>[logm(m-1)]2-
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n
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11
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+
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+
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n
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