Question

8．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^{-x}}-1，x≤0\\{x^{\frac{1}{2}}}，x＞0\end{array}\right.$，则f（-1）=1，若f（a）＜1，则实数a的取值范围是（-1，1）．

Answer 1

分析 由函数的解析式求得f（-1）的值；把不等式f（a）＜1等价转化为与之等价的2个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得实数a的取值范围．

解答 解：由函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^{-x}}-1，x≤0\\{x^{\frac{1}{2}}}，x＞0\end{array}\right.$，可得f（-1）=2-1=1．
f（a）＜1等价于$\left\{\begin{array}{l}{a≤0}\\{{2}^{-a}-1＜1}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\sqrt{a}＜1}\end{array}\right.$ ②．
解①可得-1＜a≤0，解②可得 0＜a＜1，故实数a的取值范围是（-1，1），
故答案为：1；（-1，1）．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，指数不等式、根式不等式的解法，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于基础题．