Question

13．已知数列{a_n}，S_n是其前n项的且满足$3{a_n}=2{S_n}+n（n∈{N^*}）$
（I）求证：数列$\left\{{{a_n}+\frac{1}{2}}\right\}$为等比数列；
（Ⅱ）记{（-1）ⁿS_n}的前n项和为T_n，求T_n的表达式．

Answer 1

分析 （I）通过$3{a_n}=2{S_n}+n（n∈{N^*}）$与3a_n+1=2S_n+1+n+1作差、整理可得a_n+1+$\frac{1}{2}$=3（a_n+$\frac{1}{2}$），进而可得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知：当n=2k-1时b_n=$\frac{n}{2}$-$\frac{3}{4}$（3ⁿ-1），当n=2k时b_n=$\frac{3}{4}$（3ⁿ-1）-$\frac{n}{2}$，进而数列{c_k=b_2k-1+b_2k}的前n项和Q_n=$\frac{9}{16}$（9ⁿ-1），利用T_n=${Q}_{\frac{n-1}{2}}$+b_n（n为奇数）、T_n=${Q}_{\frac{n}{2}}$（n为偶数），计算即得结论．

解答 （I）证明：∵$3{a_n}=2{S_n}+n（n∈{N^*}）$，
∴3a_n+1=2S_n+1+n+1，
两式相减得：3a_n+1-3a_n=2a_n+1+1，
整理得：a_n+1=3a_n+1，
∴a_n+1+$\frac{1}{2}$=3（a_n+$\frac{1}{2}$），
又∵3a₁=2a₁+1，
∴a₁=1，a₁+$\frac{1}{2}$=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴数列$\left\{{{a_n}+\frac{1}{2}}\right\}$是以$\frac{3}{2}$为首项、3为公比的等比数列；
（Ⅱ）解：由（I）可知：S_n=$\frac{\frac{3}{2}（1-{3}^{n}）}{1-3}$-$\frac{n}{2}$=$\frac{3}{4}$（3ⁿ-1）-$\frac{n}{2}$，
记b_n=（-1）ⁿS_n，对n分奇数、偶数讨论：
当n=2k-1时，b_n=-S_n=$\frac{n}{2}$-$\frac{3}{4}$（3ⁿ-1）；
当n=2k时，b_n=S_n=$\frac{3}{4}$（3ⁿ-1）-$\frac{n}{2}$；
记c_k=b_2k-1+b_2k，
则c_k=$\frac{n}{2}$-$\frac{3}{4}$（3^2k-1-1）+$\frac{3}{4}$（3^2k-1）-$\frac{n}{2}$
=-$\frac{1}{4}$•3^2k+$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{4}$•3^2k-$\frac{3}{4}$
=$\frac{1}{2}$•9^k，
∴数列{c_k}的前n项和Q_n=$\frac{\frac{9}{2}（1-{9}^{n}）}{1-9}$=$\frac{9}{16}$（9ⁿ-1），
∴当n为奇数时，T_n=${Q}_{\frac{n-1}{2}}$+b_n
=$\frac{9}{16}$（${9}^{\frac{n-1}{2}}$-1）-$\frac{3}{4}$（3ⁿ-1）
=$\frac{3}{16}$-$\frac{3}{16}$•3ⁿ⁺¹；
当n为偶数时，T_n=${Q}_{\frac{n}{2}}$=$\frac{9}{16}$•3ⁿ-$\frac{9}{16}$；
综上所述，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{16}-\frac{3}{16}•{3}^{2k}，}&{n=2k-1}\\{\frac{9}{16}•{3}^{2k}-\frac{9}{16}，}&{n=2k}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等比数列的判定，考查数列的前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．