Question

5．已知$\overrightarrow{m}$=（2sinx，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cosx，2cosx²-1），若函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+1，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）若f（x）-m＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据数量积运算、二倍角的余弦公式变形、两角差的正弦公式化简f（x），由周期公式求出f（x）的最小正周期；
（2）根据（1）和正弦函数的增区间求出f（x）的单调增区间；
（3）由x的范围求出2x-$\frac{π}{3}$的范围，由正弦函数的性质求出f（x）的最大值，根据恒成立列出不等式求出m的范围．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$+1
=2sinxcosx-$\sqrt{3}$（2cosx²-1）+1…（1分）
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+1…（3分）
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1…（5分）
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π…（6分）
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z得，kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈z…（7分）
∴f（x）的单调增区间为[{kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，（k∈z）…（8分）
（3）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，∴$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤1…（10分）
∴2≤f（x）≤3，∴f（x）的最大值是3，…（11分）
∵f（x）-m＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，∴m＞3-2=1…（13分）
即实数m的取值范围是（1，+∞）…（14分）

点评 本题考查数量积运算、二倍角的余弦公式变形、两角差的正弦公式，以及正弦函数的性质，恒成立问题的转化，属于中档题．